3.1.4 全概率公式 3.1.5 贝叶斯公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3．1.4　全概率公式 *3.1.5　贝叶斯公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．结合实例，理解并掌握全概率公式． 2．了解贝叶斯公式并会简单应用． 通过对全概率公式、贝叶斯公式的学习，加强数学抽象、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P90] 1．若将样本空间Ω分为A，两部分，则事件B的概率P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 2．设Ai(i＝1, 2, …， n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)， (2) A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω， (3)P(Ai)＞0，i＝1, 2, …， n， 则对任一事件B，有 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝． 上式称为全概率公式． 设A1，A2，…，An满足AiAj＝∅(i≠j)，且A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，若P(Ai)>0(i＝1, 2, …， n)，则对任一事件B(其中P(B)>0)，由条件概率及全概率公式有P(Ai|B)＝＝ (i＝1，2，…，n)， 上式称为贝叶斯公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|).(　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A).(　　) (3)P(A|B)＝＝.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3　　　　　 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 C　解析：本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 3．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　) A． B． C． D． C　解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋(1－)×＝. 4．现有8道4选1的单选题，学生李明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意选一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中任选1题，则他做对该题的概率为________． 　解析：设A：李明选的是有思路的题，B：答对该题， 则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝， 所以，由全概率公式可知， P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|) ＝×＋×＝. [对应学生用书P91] [知能解读]　 1．全概率公式的来由 不难由P(B)＝(Ai)P(B|Ai)看出：“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 2．我们还可以从另一个角度去理解全概率公式 (1)某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i＝1，2，…，n)，若B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式． (3)由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．全概率公式表达了它们之间的关系． 某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率． 解：问题实际上涉及到两个部分：第一，选出的投手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到，才为全面．第二，某个级别的投手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的，记为：Ai＝“选出的i级投手”，i＝1，2，3，则A1，A2，A3构成一个完备事件组，有A1∪A2∪A3＝Ω，且AiAj＝∅，i≠j，i，j＝1，2，3. 由题意得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”． 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62. 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. [方法总结]　全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)代入全概率公式求解．