3.1.1 条件概率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3．1　条件概率与事件的独立性 3．1．1　条件概率 课程内容标准 学科素养凝练 1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能求解复杂的条件概率． 1．在条件概率的学习过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解条件概率的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． [对应学生用书P82] 如果事件A，B是两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记作P(B|A)． 1．一般地，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率为：P(B|A)＝(P(A)＞0).类似地，如果P(B)>0，则P(A|B)＝． 2．用n(A)，n(AB)分别表示A，AB中的样本点个数，由条件概率的定义可知，在事件A发生的条件下事件B发生的概率，等于在事件A发生的条件下事件A和事件B同时发生的概率，即P(B|A)＝＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(AB).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．设A，B为两个事件，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　) A．　　　 B．　　　　C．　　　　D． A　解析：由P(B|A)＝＝＝. 3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 A　解析：设某天的空气质量为优良是事件B， 随后一天的空气质量为优良是事件A， 故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8. 4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 0．5　解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5. [对应学生用书P83] [知能解读]　对条件概率中“条件”的两点说明 (1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (2)通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数为n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理，n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. [变式]　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 方法一　P(C|A)＝1－P(B|A)＝1－＝. 方法二　n(A)＝AA＝20，n(AC)＝AA＝8， ∴P(C|A)＝＝＝. [方法总结]　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． [训练1]　某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一小组内的概率． 解：把40名学生看成40个样本点，其中第一小组所包含的样本点个数为10，第一小组的共青团员所包含的样本点个数为4.记“代表恰好在第一小组”为事件A，记“代表为共青团员”为事件B. ∴P(A)＝，P(AB)＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 故这个团员代表恰好在第一小组内的概率为. 集合M＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从M中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽