2.4.2 空间线面位置关系的判定（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．4．2　空间线面位置关系的判定 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系． 2．能用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 通过利用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系的学习，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P68] 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(x1，y1，z1).v2＝(x2，y2，z2).两个平面α1，α2的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1).n2＝(a2，b2，c2).则 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 l1⊥α1 v1∥n1 n1＝kv1 a1＝kx1，b1＝ky1， c1＝kz1，k为非零常数 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 l1∥l2 v1∥v2 v2＝kv1 x2＝kx1，y2＝ky1， z2＝kz1，k为非零常数 l1∥α1 v1⊥n1 v1·n1＝0 x1a1＋y1b1＋z1c1＝0 α1∥α2 n1∥n2 n2＝kn1 a2＝ka1，b2＝kb1， c2＝kc1，k为非零常数 1．直线在平面内的射影 如图，过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影． 如果直线l垂直于平面α，那么l在α上的射影是一个点，就是l与α的交点．如果l与α不垂直，l在α上的射影是一条直线． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直． (2) 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1和l2的位置关系是平行．(　　) (2)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β或α与β重合．(　　) (3)已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　) (4)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　解析：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a， 即a∥n，∴l⊥α. 3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A．2 B．－5 C．4 D．－2 B　解析：因为α⊥β，所以－2－8－2k＝0，解得k＝－5. 4．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(3，7，3)，则平面α与平面β的位置关系是________． 垂直　解析：n1·n2＝2×3－3×7＋5×3＝0，即n1⊥n2.则平面α⊥平面β. [对应学生用书P69] 探究一　利用空间向量证明一些立体几何中的定理 证明“直线与平面垂直的判定定理”，即“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直”． 已知：如图，a，b是平面α内两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b.求证：n⊥α. [分析]　设m是平面α内的任意一条直线．要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢？可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示． 证明：设m是平面α内的任意一条直线(如图所示)， a，b，m，n依次为直线a，b，m，n的方向向量，因为直线a，b相交，所以向量a，b不共线． 在平面α内，根据平面向量基本定理可知存在唯一的实数对(x，y)使得m＝xa＋yb， 故n·m＝xn·a＋yn·b. 因为n⊥a，n⊥b，所以n·a＝0，n·b＝0， 所以n·m＝0，故n⊥m.所以n⊥α. [方法总结]　用向量法证明立体几何中的一些定理，同几何法证明一样，先弄清定理的条件和结论，画出符合题意的图形，结合图形，写出已知和求证，然后才进行证明． [训练1]　证明“两个平面平行的判定定理”，即“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”． 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，且a∥β，b∥β.求证：α∥β. 证明：设向量a，b分别是直