2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．4　空间向量在立体几何中的应用 2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法． 通过直线的方向向量和平面的法向量的求法，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P64] 　在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，称为点P的位置向量． 　如图，在直线l上任取两个不同的点A，B，则有向线段AB所代表的向量就表示直线的方向，称为直线l的方向向量．自然，也是直线l的方向向量． 一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量． 一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的． 1．如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量． 2．确定平面的法向量 由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量垂直于平面α内的两条相交直线l1，l2, 就可以确定是平面α的一个法向量，如图． 一个平面的法向量有无穷多个，这些法向量是相互平行的． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(　　) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若直线l过点A(－1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A．(－1，，－)　　 B．(－1，－，) C．(1，，) D．(－，，1) D　解析：＝(2，－1，－3)＝－3(－，，1). 3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，－1) B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) D　解析：＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1). 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1). 4．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________． －8　解析：∵l∥α，∴直线l的方向向量与平面α的法向量垂直． ∴(2，m，1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8. [对应学生用书P65] 在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE＝AB，求点E的坐标． 解：设点E的坐标为(x1，y1，z1). 由题意可知＝(－3，1，3)，且＝， 所以(x1－4，y1－2，z1)＝(－3，1，3). 即解得 所以点E的坐标为(，，). [方法总结]　根据所求点的坐标特征，设出其坐标，再根据直线和平面的向量表示，列出方程组即可． [训练1]　 一质点从点A(1，0，－1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度向量v＝(0，1，1)，则该质点运动3 s后所在位置的坐标为(　　) A．(1，2，3)　　　 B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，1，2) B　解析：设运动3 s后该质点所在位置为点P(x，y，z)， 则＝(x－1，y，z＋1)， 且存在实数t＝3，使得＝3v， 即(x－1，y，z＋1)＝3(0，1，1). ∴∴∴P(1，3，2). 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD ­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，求下列直线的方向向量： (1)直线DD1；(2)直线BC1；(3)直线B1D. 解：(1)DD1∥AA1，＝(0，0，1)， 所以直线DD1的一个方向向量为v＝(0，0，1). (2)连接BC1，AD1，BC1∥AD1，＝(0，1，1)； 所以直线BC1的一个方向向量为v＝(0，1，1). (3)∵B1(1，0，1)，D(0，1，0)， ∴＝(－1，1，－1)， 所以直线B1D的一个方向向量为v＝(－1，1，－1). [方法总结]　求直线的方向向量可在直线上求两个不同的点的坐标，两点所在向量就是直线的方向向量，或者寻找与直线平行的向量也可求直线的方向向量 [训练2]　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 (2)若向量a＝(x，2，1)，b＝(1，y，3)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________. (1