2.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．3．2　空间向量运算的坐标表示 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握空间向量的加减法、数乘运算和数量积的坐标表示． 2．掌握空间向量平行(共线)和垂直的充要条件． 3．掌握空间向量长度与夹角的坐标表示． 通过空间向量加减法、数乘运算和数量积的坐标表示，空间向量平行(共线)和垂直的充要条件以及空间向量长度与夹角的坐标表示的学习与应用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P60] 1．两个向量a，b的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)． 2．一个实数λ与向量a乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标，即设向量a＝(x，y，z)，λa＝(λx，λy，λz)，λ∈R. 3．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则当a∥b时，(x1，y1，z1)＝λ(x2，y2，z2)，其中λ∈R，即a∥b⇔(x1，y1，z1) ∥(x2，y2，z2)⇔ x2＝λx1，y2＝λy1,_z2＝λz1(λ∈R). 1．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则a·b＝(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 2．向量a＝(x1，y1，z1)的模长为|a|＝＝． 3．a＝(x1，y1，z1)和b＝(x2，y2，z2)所成角α的余弦值为 cos α＝＝. 特别地，向量a＝(x1，y1，z1)和b＝(x2，y2，z2)垂直的条件为a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.(　　) (2)已知a＝(1，2，－3)，b＝(5，－7，8)，则2a＋b＝(7，－3，2).(　　) (3)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝.(　　) (4)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 D　解析：易验证A，B，C均不正确． 由|a|＝＝6，可知D正确． 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线|AC1|的长为(　　) A.9　　　　　　　 B． C．5 D．2 B　解析：由已知，可得C1(0，2，3)， 所以||＝＝. 4．已知a＝(1，－2，4)，b＝(－2，4，x). (1)当a⊥b时，x＝________． (2)当a∥b时，x＝________． (1)　(2)－8　解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝.(2)由a∥b得＝＝，解得x＝－8. [对应学生用书P61] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；(4)cos 〈p，q〉． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求各式的值． 第二步，精读题目挖已知条件：已知空间四点A，B，C，D的坐标，且p＝，q＝. 第三步，建立联系寻解题思路：先由点的坐标计算得到向量p，q的坐标，然后再进行各种运算． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6) ＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. (4)cos 〈p，q〉＝ ＝ ＝＝－. [方法总结]　 1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式： (1)(a＋b)2＝