2.3.1 空间向量的分解与坐标表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．3　空间向量基本定理及坐标表示 2．3.1　空间向量的分解与坐标表示 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握空间向量共面的充要条件及其应用． 2．理解空间向量基本定理及其意义． 3．掌握空间向量的直角坐标表示． 通过空间向量共面的充要条件和空间向量基本定理及空间向量的直角坐标表示的学习，加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． [对应学生用书P55] 1．共面向量的概念 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2． 　设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3. 上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则 x＝x′，y＝y′，z＝z′. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标． 1. 标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j, k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基. 2．空间向量的直角坐标表示 在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j, k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p. 向量p＝在标准正交基{i，j, k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标． 3．空间两点的坐标表示 如果P ，Q为空间直角坐标系内任意两点，设向量的起点P和终点Q的坐标分别为(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 这就是说，一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标． 4．向量在三条坐标轴上的投影 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． i＝(1，0，0)，j＝(0，1，0)，k＝(0，0，1). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.(　　) (2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面．(　　) (3)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．(　　) (4)空间任一向量都可以分解成三个不共面向量和的形式，且分解是唯一的．(　　) (5)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知向量{a，b，c}是空间的一组基，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是(　　) A．a　　　　　　 B．b C．a＋2b D．a＋2c D　解析：能与p，q构成基，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A，B，C都不合题意．由于{a，b，c}构成基，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基． 3．已知{i，j，k}是空间的一组标准正交基，则下列坐标为j所对应的是(　　) A．(0，0，0) B．(1，0，0) C．(0，1，0) D．(0，0，1) 答案：C 4．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 A　解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面． 5．如图， 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________． －a＋b－c　解析：＝－ ＝(＋)－(＋) ＝－＋－＝－a＋b－c. [对应学生用书P56] [知能解读]　证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥). 由此，可以证明点共面或线共面． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：证明E，F，G，H四点共面． 第二步，精读题目挖已知条件：已知四边形