2.2 第2课时 向量的数量积（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2课时　向量的数量积 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握空间向量的夹角的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质和运算律． 3．理解投影向量与投影的概念． 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题． 通过空间向量的数量积的定义、几何意义、性质、运算律的学习与应用，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． [对应学生用书P49] 1．两个向量夹角的定义：如图，空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，我们把∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地，当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 定义 已知两个空间向量a，b，a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉为a，b的数量积，零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a·a＝|a|2；|a|＝；a·b＝0 ⇔ a⊥b；cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) 运算律 a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 1．投影向量 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模||＝|||cos_α|称为投影长． 取方向上的单位向量e来度量投影向量，可得＝(||cos α)e，我们称||cos_α为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反． 2．数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (2)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　) (4)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　) (5)对于任意两个非零空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b．(　　) (6)向量a在向量b上的投影等于向量b在向量a上的投影．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c B　解析：对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c). 3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2　　 B．a2　　　C．a2　　　D．a2 C　解析：·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝(a×a×＋a×a×)＝a2. 4．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________． 6　解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6. [对应学生用书P50] 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)·. [分析]　求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算． 解：(1)·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝，所以·＝. (2)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 0°＝， 所以·＝. (3)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 120°＝－， 所以·＝－. [方法总结]　在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. [训练1]　已知正四面体OABC的棱长为1. 求：(1)·；(2)(＋)·(＋). 解　如图所示． (1)·＝||||cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·