2.1.1 建立空间直角坐标系 2.1.2 空间两点间的距离（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．1　空间直角坐标系 2．1.1　建立空间直角坐标系 2．1.2　空间两点间的距离 课程内容标准 学科素养凝练 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2．会求空间直角坐标系中点的坐标． 3．借助点在空间直角坐标系中的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，并灵活运用． 通过空间直角坐标系的建立、空间两点间的距离公式的学习与应用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P39] 1．空间直角坐标系的定义 如图，在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴和z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O ­xyz. 在空间直角坐标系O ­xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面． 2．右手系 一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面，它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如图所示). 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，若点P不在三个坐标平面内，则过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C.设交点A，B，C分别代表唯一的实数x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z). 反过来，给定有序实数组(x，y，z)，我们可以在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x，y，z的点A，B，C，过这三点分别作垂直于x轴、y轴和z轴平面，则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)所确定的点P. 这就建立了空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系．有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 已知空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点， 则A，B两点间的距离为 |AB|＝. 这就是空间两点间的距离公式． 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)空间直角坐标系中x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (3)关于坐标平面yOz对称的两点，它们的纵、竖坐标分别相等，横坐标互为相反数．(　　) (4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在空间直角坐标系中，点M(－2，1，0)关于原点的对称点M′的坐标是(　　) A．(2，－1，0)　　　　 B．(－2，－1，0) C．(2，1，0) D．(0，－2，1) A　解析：很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1，0). 3．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　) A．(－1，0，1)，(－1，2，0) B．(－1，0，0)，(－1，2，0) C．(－1，0，0)，(－1，0，0) D．(－1，2，0)，(－1，2，0) B　解析：点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变，竖坐标为0. 4．在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)和点B(2，1，－1)间的距离为__________． 　解析：|AB|＝＝. 5．在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，点C1的坐标是________． 答案：(1，1，1) [对应学生用书P41] [知能解读]　在给定的空间直角坐标系中，空间给定一点的坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应，即空间内的点与有序实数组(x，y，z)是一一对应的． 如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [分析]　将各个点在坐标轴上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． 解：(1)显然点D的坐标为(0，0，0). 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以点A的坐标为