1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值 课程内容标准 学科素养凝练 1．能利用导数求三次函数的单调区间和极值． 2．能由函数的性质作出三次函数的图象． 3．会求连续函数在闭区间内的最值． 1．在利用导数求解三次函数的性质的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [对应学生用书P31] 　设三次多项式函数F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数． 三次多项式函数F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的单调区间和极值有以下三种情况： 情形1　函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． (1)若a＞0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值． (2)若a＜0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减. 无极值． 情形2　函数F′(x)有一个零点x＝ω，如图． (3)若a＞0，则F′(x)在(－∞，ω)∪(ω，＋∞)上恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值 (4)若a＜0，则F′(x)在(－∞，ω)∪(ω，＋∞)上恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．无极值 情形3　函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u＜v，如图，根据二次函数的性质可得： (5)若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负 .对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值． (6)若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正，对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减. 可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值． 1．取得最值的条件：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最值(最大值和最小值的统称)必在极值点或区间端点处取得，因此在实际计算中，我们只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值求出并进行比较，就可以求出在该闭区间上的最大值与最小值． 3．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝3ax2＋2b＋c＝0的Δ≤0.(　　) (2)三次函数在实数集R上可能没有零点．(　　) (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(　　) (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是(　　) A．f(1)与f(－1)　　　　 B．f(1)与f(2) C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1) B　解析：f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0⇒x<1.同理，f′(x)<0⇒x>1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2). 3．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的导函数f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D D　解析：由图象知，在(－∞，0)上f′(x)>0，f(x)单调递增，在(0，2)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，在(2，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)单调递增． 4．函数f(x)＝在[0，2]上的最大值为________． 　解析：f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，得x＝1∈[0，2]. 当1≤x≤2时，f′(x)≤0； 当0≤x＜1时，f′(x)>0. ∴f(x)在[0，1)上单调递增，在[1，2]上单调递减． ∴当x＝1时，f(x)取得极大值f(1). ∵f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝， ∴f(x)max＝f(1)＝. 5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则