1.2.3 简单复合函数的求导（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．2.3　简单复合函数的求导 课程内容标准 学科素养凝练 1．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题． 1．在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养． [对应学生用书P17] 一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数． 对于复合函数y＝F(x)＝f(g(x))，记u＝g(x)，则F′(x)＝f′(u)·g′(x)，也可以记作：y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)下列函数都是复合函数．(　　) ①y＝－x3－＋1；②y＝cos ；③y＝；④y＝(2x＋3)4. (2)函数y＝的导数是y′＝－.(　　) (3)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (4)函数y＝ln sin |x|由y＝ln u，u＝sin |x|复合而成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 D　解析：f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4. 4．函数y＝cos (－3x)的导数为__________． 3sin (－3x)　解析：y′＝′ ＝－sin (－3x)·(－3)＝3sin (－3x). [对应学生用书P17] [知能解读]　 1．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤 (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数． (2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数． 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x. 解：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′uu′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′uu′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′uu′x＝(5log2u)′(1－x)′ ＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴y′x＝(u3)′(sin x)′＋(sin v)′(3x)′ ＝3u2cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x. [方法总结]　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 注意：不要漏掉第(3)步回代的过程． [训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin (πx＋φ)(其中π，φ为常数). 解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数． ∴y＝y·u＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数u＝－0.05x＋1的复合函数． ∴y＝y·u＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1． (3)函数y＝sin (πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴y＝y·u＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π＝πcos(πx＋φ). 探究二　复合函数与导数的运算法则的综合应用 求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝x cos (2x＋)sin (2x＋). 解：(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝ ＝