1.2.2 函数的和差积商求导法则（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．2.2　函数的和差积商求导法则 课程内容标准 学科素养凝练 1．能利用函数的和差积商求导法则，求解简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用． 1．通过运用函数的和差积商求导法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P14] 1．函数常数倍的导数：(cf(x))′＝cf′(x). 2．两函数之和的求导法则：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)， 两函数之差的求导法则：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 3．函数乘积的求导法则：(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 1．函数的倒数的求导法则：()′＝－. 2．两函数之商的求导法则： ()′＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2x sin x．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数f(x)＝2x＋sin x的导数是_________________． 2x ln 2＋cos x　解析：f′(x)＝(2x)′＋(sin x)′＝2x ln 2＋cos x． 3．函数y＝sin x cos x的导数是____________． cos 2x　解析：y′＝(sin x cos x)′ ＝cos x cos x＋sin x(－sin x) ＝cos2x－sin2x＝cos2x. 4．(1)()′＝________；(2)(xex)′＝________． (1)　(2)(1＋x)ex　解析：(1)()′＝＝.(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 5．某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t，则W′(1)＝________ J/s，W′(2)＝________ J/s. 7　4　解析：W′(t)＝3t2－12t＋16， 则W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s. [对应学生用书P14] [知能解读]　 1．公式推广 函数和、差导数可以推广到n个函数 设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x). 2．结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． 求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋3x＋； (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； (3)y＝3＋4. 解：(1)y′＝(x5－x3＋3x＋)′＝(x5)′－(x3)′＋(3x)′＋()′＝x4－4x2＋3. (2)方法一　y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 方法二　∵y＝12x10－7x8－12x6， ∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4x＋6x＝4＋6. [方法总结]　 1．求多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导，一般先化为分数指数幂，再求导. [训练1]　求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x2sin x； (4)y＝. 解：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. (3)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x. (4)y′＝ ＝＝. 探究二　导数的四则运算法则在实际生活中的应用 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100).求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c′(x)＝()′ ＝ ＝ ＝. (1)因为c′(90)＝＝52.84， 所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨． (2