1.2.1 几个基本函数的导数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．2　导数的运算 1．2.1　几个基本函数的导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P11] 1．常数函数的导数为0：(c)′＝0. 2．恒等函数的导数为1：(x)′＝1. 3．(x2)′＝2x. 4．(x3)′＝3x2. 5．()′＝－． 6．()′＝ . 1．(c)′＝0. 2．(xα)′＝αxα－1(α≠0). 3．(ex)′＝ex． 4．(ax)′＝ax ln a(a＞0，a≠1). 5．(ln x)′＝. 6．(logax)′＝(a＞0，a≠1). 7．(sin x)′＝cos x. 8．(cos x)′＝－sin_x． 9．(tan x)′＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)常数函数的导数是它本身．(　　) (2)指数函数的导数还是指数函数．(　　) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知f(x)＝cos30°，则f′(x)的值为(　　) A．－　　　B．　　　　C．－　　　　D．0 D　解析：∵f(x)＝cos 30°＝，因此， f′(x)＝0. 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A.若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C.若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x 答案：ABC 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________． 答案：1 5．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________． (0，0)　解析：(x3)′＝3x2.若切线平行或重合于x轴， 则切线斜率k＝0，即3x2＝0，解得x＝0，∴y＝0， 即切点为(0，0). [对应学生用书P12] [知能解读]　关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ ； (4)y＝log5x；(5)y＝cos (－x)；(6)y＝sin ； (7)y＝ln x；(8)y＝ex. 解：(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3x ln 3. (3)y＝ ＝ ＝x，∴y′＝x－＝ . (4)y′＝.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝.(8)y′＝ex. [方法总结]　求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [训练1]　(多选)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(sin )′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．(－)′＝ ABC　解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误； sin ＝，而()′＝0，所以B错误； ()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误； (－)′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确． 求曲线y＝ln x在点(e，1)处的切线方程． 解：因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式1]　求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线． 解：因为点O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝.又因为k＝，且b＝ln a，所以＝＝，所以a＝e，b＝1.所以切线方程为x－ey＝0. [变式2]　若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解：问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外当m>0且y＝mx是y＝ln x的切线时，满足条件．因为y＝mx的图象过点(0，0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. [方法总结]　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解 [训练2]　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线