1.1.3 导数的几何意义（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．1.3　导数的几何意义 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．掌握利用导数求切线方程的方法 3．体会极限思想及以直代曲的思想方法． 通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养． [对应学生用书P8] 1．如图，当点Qn沿曲线逼近于点P时，直线PQn最终成为在点P处最逼近曲线的切线PT，则割线PQn的斜率kn趋近于切线PT的斜率，而kn＝，故可知，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率，即k＝f′(x0)． 这里，我们有以下结论，当函数y＝f(x)表示曲线方程时，其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 2．函数y＝f(x)图象在点(x0，f(x0))处的切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 切线的本质，是在切点附近最接近曲线的直线．在这一点附近，比起用其他直线，用切线近似地代替曲线，误差最小．函数的表达式千变万化，但只要可导，就可以在一点附近用一次函数近似地代替，而使误差很小．这就是微积分中重要的思想方法——以直代曲． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若直线l是曲线y＝f(x)的切线，则直线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点．(　　) (2)曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点．(　　) (3)若曲线y＝f(x)在x0处的切线的斜率为k，则＝k.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B　解析：由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB). 3．已知函数f(x)的图象如下所示，f′(x)为f(x)的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是(　　) A．f′(x1)＜f′(x2)　　　　 B．f′(x1)＞f′(x2) C．f(x1)＜f′(x2)＜0 D．f(x1)＞f′(x2)＞0 B　解析：由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知，f′(x1)＞f′(x2)＞0，f(x1)＜0＜f(x2). 4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　) A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0 C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定 B　解析：由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1.由导数的几何意义知，h′(a)＝－2<0. [对应学生用书P9] 曲线y＝x3－2在点(1，－)处切线的倾斜角为(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D．－ B　解析：设f(x)＝x3－2， 则f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)3－ ＝d(d2＋3d＋3)， 当d→0时，＝(d2＋3d＋3)→1，即k＝f′(1)＝1， 因此，所求切线的倾斜角为. [方法总结]　求函数f(x)的图象上某一点x0处切线的斜率，只需求函数在该点处的导数f′(x0)即可；若又需求切线的倾斜角α，则根据定义k＝f′(x0)＝tan α，α∈[0，)，再确定α即可． [训练1]　(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标为(　　) A.(1，1) B．(－1，－1) C．(－2，－) D．(－，－2) AB　解析：切线的斜率k＝tan ＝－1， 设切点为(x0，y0)，则当d→0时， ＝ ＝－→－， ∴k＝f′(x0)＝－＝－1，∴x0＝1或x0＝－1， ∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1). [知能解读]　利用导数的几何意义处理切线问题的两块知识 (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是求解或表示函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． 已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． [分析]　尽管两问都是求切线方程，但是明显提法不同，(1)是求C在点(1，1)处的切线方程，则点(1，1)必为切点，切线只有一条；而(2)是求过点(1，1)的切线方程，点(1，1)未必是切点，所求切线也未必唯一． 解：当d→0时，＝ ＝3dx＋3x2＋d2→3x2， 因此，f′(x)＝3x2. (1)f′(1)＝3，又f(1)＝1，即切点为P(1，1). ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3