1.1.2 瞬时变化率与导数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．1.2　瞬时变化率与导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过实例分析，体会由平均速度到瞬时速度、平均变化率到瞬时变化率的联系和不同． 2．理解导数，导函数的概念，会求一些简单函数的导数． 3．感悟极限的思想． 通过学习物体的瞬时速度，函数的瞬时变化率，函数的导数的概念，从而达成数学抽象的核心素养． [对应学生用书P4] 1．瞬时速度：若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限． 2．瞬时变化率：一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率． 注意：“d趋近于0”是指时间间隔d或区间长度d无限接近于0，但始终不能为0. 1．导数：设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微． 上述定义可以简单地表述为：→f′(x0)(d→0)， 读作“d趋近于0时，趋近于f′(x0)”． 2．导函数：若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数． 若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d的正、负无关．(　　) (2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率．(　　) (3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (4)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．若f(x)在x＝x0处存在导数，则当d→0时，趋近于(　　) A．f′(x0)　　　　　 B．－f′(x0) C．2f′(x0) D．－2f′(x0) D　解析：＝·(－2)， 故当d→0时，→－2f′(x0). 3．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是s(t)＝gt2(其中g＝9.8 m/s2)，试估计t＝3 s时物体下落的瞬时速度是________． 29．4 m/s　解析：从3 s到(3＋d)s这段时间内位移的增量Δs＝s(3＋d)－s(3)＝4.9(3＋d)2－4.9×32＝29.4d＋4.9d2，从而平均变化率为29.4＋4.9d.当d无限趋近于0时，29.4＋4.9d无限趋近于29.4.故t＝3 s时物体下落的瞬时速度是29.4 m/s. [对应学生用书P5] (1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且当d→0时→1，则f ′(x0)等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－ D． C　解析：∵＝·(－3)， 故当d→0时，→－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－. (2)已知f(x)＝x2＋3，求f(x)在x＝1处的导数． 解：因为平均变化率为 ＝＝2＋d， 则当d→0时，2＋d→2，即f′(1)＝2. [方法总结]　利用导数定义求导数的步骤 (1)求函数的增量，即f(x0＋d)－f(x0)； (2)求平均变化率，即； (3)取极限，得导数，→f′(x0)(d→0). 简记为一差，二比，三趋近．,\s\do4(　,)) [训练1]　已知f′(1)＝－2，则当d→0时，＝________． 4　解析：∵f′(1)＝－2，当d→0时，＝－2→－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. [训练2]　已知函数y＝x2＋＋5，若该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值． 解：当x＝a时，Δy＝(a＋d)2＋＋5－(a2＋＋5)＝2ad＋d2－， ∴平均变化率为2a＋d－， ∴当d→0时，2a＋d－→2a－， ∴2a－＝0，解得a＝. 子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动s(t)＝at2，如果它的加速度是a＝5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为t0＝1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 解：位移公式为s(t)＝at2. ∵s(t0＋d)－s(t0)＝a(t0＋d)2－at＝at0d＋ad2， ∴平均变化率为at0＋ad， ∴当d→0时，at0＋ad→at0， 即子弹在t0处的瞬时速度v(t)＝at0. 已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， ∴at0＝800 m/s. ∴子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. [方法总结]　在某一