1.1.1 函数的平均变化率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．1　导数概念及其意义 1．1.1　函数的平均变化率 课程内容标准 学科素养凝练 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程．体会数学的博大精深以及学习数学的意义． 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景． 1．通过学习函数的平均变化率的概念，从而达成数学抽象的核心素养． 2．理解函数的平均变化率与直线的斜率、物体的平均速度之间的关系，提升直观想象的核心素养． [对应学生用书P1] 若在一条直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)．因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝．若f(t)的图象不是直线而是曲线．仍然等于动点P在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]. 1．概念：对于函数y＝f(x)，我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 2．意义 (1)物理意义：当f(x)中的自变量x表示时刻，因变量y表示位置时，平均变化率表示的就是物体在[a，b]上运动的平均速度． (2)几何意义：由kAB＝知函数的平均变化率就是连接两点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线的斜率． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)物体在[a，b]上运动的平均速度就是它在[a，b]上的运动速度．(　　) (2)函数f(x)在[a，b]内的平均变化率可记为.(　　) (3)函数f(x)的图象越“陡峭”，则连接函数图象上某两点的直线的斜率越大．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．y＝2x＋1在(1，2)内的平均变化率为(　　) A．3　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0 B　解析：v[1，2]＝＝2. 3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3，3＋d)内的平均速度为(　　) A．6＋d B．6＋d＋ C．3＋d D．9＋d A　解析：v[3，3＋d]＝＝＝d＋6. 4．已知s＝gt2，从3 s到3.1 s的平均速度是________(用g表示). 　解析：v[3，3.1]＝＝. [对应学生用书P2] 探究一　平均变化率的概念及意义的应用 情境：现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载． 时间(t/d) 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温(y/℃) 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为(理解图中A，B，C点的坐标的含义) 观察图象，回答问题 (1)从第1天到第32天，气温变化了多少？从第32天到第34天，气温又变化了多少？ (2)能否根据(1)的结论，判定从第1天到第32天的温度变化和从第32天到第34天的温度变化哪一个更快？说明理由． 解：(1)从第1天到第32天，气温变化为18.6－3.5＝15.1 ℃，从第32天到第34天，气温变化为33.4－18.6＝14.8 ℃. (2)尽管15.1>14.8，但不能判定从第1天到第32天的温度变化更快，因为两者的时间范围不同，应比较两者的平均变化率即平均每天的温度变化量来比较．由＜，可知从第32天到第34天的温度变化更快． [方法总结]　在比较两个量的(或一个量在不同范围内的)变化快慢时，不应比较变化量的大小，而应比较它们的平均变化率，即自变量在单位时间内时因变量的平均变化量的大小；若能作出函数的图象，观察图象的陡峭程度也可以判定． [训练1]　在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 解：甲5年中平均每年挣钱＝2万，乙5个月平均每年挣钱＝4.8万，故乙的经营成果更好． 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]; (2)[1，2]; (3)[1，1.1]; (4)[1，1.001]. 解：(1)＝＝4； (2)＝＝3； (3)＝＝2.1； (4)＝＝2.001. [方法总结]　求函数f(x)在[a，b]的平均变化率的步骤 第一步，求自变量的改变量b－a； 第二步，求函数值的变化量f(b)－f(a)； 第三步，求平均变化率. 注意：平均变化率也可以表示为. [训练2]　已知f(x)＝2x2，则函数在[1，1＋d]内的平均变化率为(　　) A．4　　　　　　　　 B．4d C．4＋2d2 D．4＋2d D　解析：平均变化率为＝4＋2d. 航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？ (2)求