阶段测试(一) 等差数列（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

阶段测试(一)　等差数列 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知等差数列{an}中，a4＝9，a8＝－a9，则a1＝(　　) A．21　　　　B．19　　　　C．17　　　　D．15 D　[设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得a1＝15，d＝－2.] 2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思是：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(在本题中“以爵次分之”表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得一鹿、三分鹿之二，则公士得(　　) A．三分鹿之一　　　　　　 B．三分鹿之二 C.一鹿 D．一鹿、三分鹿之一 A　[由题意，五人按等差数列进行分鹿，设公差为d， 解得d＝－，∴a5＝a1＋4d＝.] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　　　 B．49 C．35 D．63 B　[由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列， 所以S7＝＝＝49.] 4．(2020·北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 B　[由题意可知，等差数列的公差d＝＝＝2， 则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－9＋(n－1)×2＝2n－11. 所以a1<a2<a3<a4<a5<0<a6＝1<a7<…，T5<0， Ti<0(i≥6，i∈N＋). 由＝ai>1(i≥7，i∈N＋)可知数列{Tn}不存在最小项， 因为a1＝－9，a2＝－7，a3＝－5，a4＝－3， a5＝－1，a6＝1， 所以数列{Tn}中的正项只有有限项：T2＝63，T4＝63×15＝945. 所以数列{Tn}中存在最大项，且最大项为T4.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 5．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当Sn取到最大值时，n的取值是(　　) A．4　　　　　　 B．5 C．6 D．7 BC　[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0.∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大．] 6．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，则下列结论中正确的是(　　) A．a10＝0　　　　　　 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0 AC　[设等差数列{an}的公差为d，a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，所以a1＝－9d，a10＝a1＋9d＝0，A正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最小，B错误；S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，所以S7＝S12，C正确；S20＝20a1＋190d＝10d，D错误．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d＝________． 1　[∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15，∴a5＝5.∴a5－a2＝3＝3d，解得d＝1.] 8．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面． 20　[设物体经过t秒降落到地面，物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90、公差为9.80的等差数列，所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，解得t＝20.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值？ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1＝9，a4＋a7＝0，得9＋3d＋9＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋×(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，