阶段测试(四) 导数的概念及其意义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

阶段测试(四)　导数的概念及其意义 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．2 B　[∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0. ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.] 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) B　[由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0.故只有B符合．] 3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处的切线的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．135° D．60° B　[∵＝ ＝ ＝1， ∴切线的斜率为1.∴倾斜角为45°.] 4．已知函数f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1　　　　　　 B．3 C． D．0 C　[ ＝3 ＝3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　) A．1　　　　　　 B．－1 C．－3 D．3 AB　[∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x ＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2. ∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x. 由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.] 6．已知函数y＝f(x)的自变量在x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值f′(x0)，下列等式中正确的是(　　) A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝ C．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)f(x0)] D．f′(x0)＝ ABD　[根据导数的定义可知A正确；若令x＝x0＋Δx，当x→x0时，Δx→0，则 ＝ ＝f′(x0)，B正确；根据导数的定义f′(x0)＝ ，C错误，D正确．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．若f′(x0)＝1，则 ＝__________． －　[ ＝－ ＝－f′(x0)＝－.] 8．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________． ±1　[∵f′(a)＝ ＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为(a，0). ∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6平行，求a的值． 解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2. ＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]＝3x＋2ax0－9， 即f′(x0)＝3x＋2ax0－9. ∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－. 当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. ∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线的斜率为－12. ∴－9－＝－12，解得a＝±3. 又a<0，∴a＝－3. 10．(12分)如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程． 解　∵切线与直线y＝3x＋4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3. 又y′|x＝x0＝ ＝ ＝ ＝ (Δx＋2x0＋1) ＝2x0＋1， ∴2x0＋1＝3.从而x0＝1，代入y＝x2＋x－3得y0＝－1， ∴切点坐标为(1，－1). 切线方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0. 11．(13分)某一运动物体，在x(单位：s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在1 s末的瞬时速度； (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解　(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为＝，故在第1 s内的平均速度为 m/s