2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．若函数y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) A　[函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A符合．] 2．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　 ) A．(1，1)　　　　　　　　　 B．(－1，1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8) C　[因为f(x)＝x3，所以 ＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2. 由题意知，切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1. 故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).] 3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0　　　　　　 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 A　[设切点的坐标为(x0，y0)， ∵ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x， 由题意知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4， ∴x0＝2.∴切点的坐标为(2，4).∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.] 4．(多选题)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1　　　　　　 B．－1 C．3 D．－3 AB　[f′(x0)＝ ＝ ＝[3x＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2] ＝3x＋1＝4， 解得x0＝±1.] 5．已知函数f(x)＝ax＋4，若 ＝2，则实数a的值为(　　) A．2　　　　　　 B．－2 C．3 D．－3 A　[根据题意，知 ＝ ＝a＝2 .] 6.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝________． －2　[由导数的概念和几何意义知 ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.] 7．若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________． (0，0)　[设P(x0，y0)，则f′(x0) ＝ ＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2. 所以2x0＋2＝2.解得x0＝0，故点P的坐标是(0，0).] 8．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解　f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg /mL. f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg /mL. 9．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率是(　　) A．1　　　　　　 B．－1 C． D．－2 B　[∵ ＝－1， ∴ ＝－1. ∴f′(1)＝－1.] 10．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a<f′(2)<f′(4)　　　　　　 B．f′(2)<a<f′(4) C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a B　[由图象可知，函数的增长越来越快，故曲线的切线的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与在点(4，f(4))处的切线斜率f′(4)之间，所以f′(2)<a<f′(4).] 11．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A．2　　　　　　 B．－1 C．1 D．－2 D　[∵ ＝ ＝－1， ∴ ＝－2，即f′(1)＝2. 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2.] 12．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________． 　[设切点为P(x0，y0)，则 f′(x0)＝ ＝ ＝ (2ax0＋aΔx)＝2ax0＝1. 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得 解得a＝.]