1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8　　　　 B．4　　　　 C．2　　　　 D．1 A　[(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8.] 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　) A．1　　　　　　 B．0 C．1或0 D．－1 A　[∵Sn－Sn－1＝an(n≥2)，{Sn}是等差数列，∴an(n≥2)为定值，即等比数列{an}为常数列．∴q＝＝1(n≥2).] 3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a1a5＝1，S3＝7，则S5等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D． B　[{an}是由正数组成的等比数列，设其公比为q，且a1a5＝1， ∴a1·a1q4＝1. 又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1. ∴6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去). ∴a1＝＝4，S5＝＝.] 4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6(1－3－10)　　　　　　 B．(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) C　[由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10).] 5．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝________． 33　[根据等比数列性质得＝q5， ∴＝25.∴S10＝33.] 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________． 　[设等比数列的公比为q， 则an＝a1qn－1＝qn－1. 又S3＝， ∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0. ∴q＝－.∴S4＝＝.] 7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 6　[设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32，26＝64，n∈N＋，所以n≥6.] 8．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 解　设数列{an}的公比为q(q≠0). 由已知可得 即 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝. 9．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　) A．S1　　　　　　 B．S2 C．S3 D．S4 C　[由题S1正确．若S4错误，则S2，S3正确．于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65. 若S3错误，则S2正确．此时，a1＝8，a2＝12. ∴q＝.∴S4＝＝＝65，符合题意．] 10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　) A．　　　　　　 B．－ C． D．－ C　[设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9.又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.] 11．等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 2　[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝， S奇＝. 由题意得＝.∴1＋q＝3.∴q＝2.] 12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝__________．(n≥2，且n∈N＋) －　[很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得 ＝＝＝.解得q＝，故＝＝＝＝－.] 13．已知{an}是首项为a、公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和． (1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值； (2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列． (1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)， S4＝a(1＋q＋q2＋q3). 当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝. (2)证明　若q＝1，则{an}的各项