1.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12　　　　　　 B．8 C．6 D．4 B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.又d≠0， ∴m＝8.] 2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项的值为(　　) A．0　　　　　　 B．37 C．100 D．－37 C　[设cn＝an＋bn，{cn}也是等差数列，设其公差为d，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0，cn＝100(n∈N＋).从而c37＝100.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A．　　　　　　 B．± C．－ D．－ D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝. ∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D．6 B　[设等差数列{an}的公差为d(d>0)，由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝12，故a2＝4，则(a2－d)a2(a2＋d)＝4(4－d)(4＋d)＝48.又d＞0，所以d＝2，故a1＝a2－d＝4－2＝2.] 5．(多选题)下面关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 AD　[∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，d>0，∴数列{an}递增，A正确．nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，B错误．＝d＋，当a1－d≥0时，不递增，C错误．[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，D正确．] 6．若3，a，b，c，15成等差数列，则a＋b＋c＝________． 27　[由等差数列的对称性知，b是3，15的等差中项且a＋c＝3＋15，∴a＋b＋c＝3＋15＋＝27.] 7．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________． 0　[设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1.从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.] 8．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________． 2　[因为数列{an}为等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am.所以am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.所以a1＋a2m－1＝2am＝2.] 9．首项为a1，公差为d的正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：a3＋a5＋a7＝93，满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值． 解　因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93.所以a5＝31. 由an＝a5＋(n－5)d>100，得n>＋5. 因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15. 所以6<d≤7. 又d为正整数，所以d＝7，故a1＝a5－4d＝3. 10．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值； (2)已知在等差数列{an}中，a49＝80，a59＝100，求a79. 解　(1)∵{an}是等差数列， ∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8. 又a1－a4＋a8－a12＋a15＝2， ∴a8＝2，则a3＋a13＝2a8＝2×2＝4. (2){an}是等差数列，可设公差为d. 由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2. 又a79＝a59＋20d， ∴a79＝100＋20×2＝140. 11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L，下面3节的容积共4 L，则第5节的容积为(　　) A．1 L　　　　　　 B． L C． L D． L B　[设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即 解得可得a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为 L．] 12．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． －　[a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝