2.4.1 导数的加法与减法法则 2.4.2 导数的乘法与除法法则（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§4　导数的四则运算法则 4．1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 课程内容标准 学科素养凝练 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用． 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[]′＝，g(x)≠0.特别地，[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差.(√) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(×) (3)(x2cos x)′＝－2x sin x．(×) 2．函数f(x)＝2x＋sin x的导数是____________． 2x ln 2＋cos x　[f′(x)＝(2x)′＋(sin x)′ ＝2x ln 2＋cos x．] 3．函数y＝sin x cos x的导数是____________． cos 2x　[y′＝(sin x cos x)′＝cos x cos x＋sin x(－sin x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.] 4．若f(x)＝，则f ′(x)＝____________． 　[f′(x)＝()′＝＝.] 5．(多空题)某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t，则W′(1)，W′(2)分别为________ J/s，________ J/s. 7　4　[W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7(J/s)，W′(2)＝4(J/s).] [知能解读]　 (1)公式推广：函数和、差导数可以推广到n个函数 设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x). (2)结构特征 乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式，分母平方，分子用“减号”． (1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是_________________________________； (2)函数y＝2x cos x－3x ln x的导数是____________； (3)函数y＝的导数是____________． (1)y′＝18x2－8x＋9　(2)y′＝2x ln 2cos x－2x sin x－3ln x－3　(3)y′＝　[(1)方法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)×3＝18x2－8x＋9. 方法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2x cos x－3x ln x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′]＝2x ln 2cos x－2x sin x－3(ln x＋x·)＝2x ln 2cos x－2x sin x－3ln x－3. (3)y′＝()′ ＝ ＝＝.] [方法总结]　 (1)多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． (2)含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导. 　 [训练1]　求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x2sin x； (4)y＝. 解　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′ ＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′ ＝2x＋. (3)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x． (4)y′＝＝ ＝. 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)， 即13x－y－32＝0. (2)设