2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 2．2　导数的几何意义 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解导数的概念及导数的几何意义． 2．会求导数及理解导数的实际意义． 3．掌握利用导数求切线方程的方法． 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养． 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数． 2．记法：函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . 1．割线的定义 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如下图，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．切线的定义 当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(√) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(×) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(×) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(×) 2．设函数y＝f(x)可导，则 等于(　　) A．f′(1)　　　　　　　 B．3f′(1) C．f′(1) D．以上都不对 A　[由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.] 3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0　　　　　　 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 A　[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以f′(x0)>0.] 4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数 f′(1)＝________． 0　[f′(1)＝ ＝ ＝Δx＝0.] (1)若 ＝k，则 等于(　　) A．2k　　　　　　　　 B．k C．k D．以上都不是 (2)函数y＝在x＝1处的导数是________． (3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． (1)A　[ ＝2 ＝2 ＝2k.] (2) 　[∵Δy＝－1， ∴＝＝， 当Δx趋于0时， ＝， ∴函数y＝在x＝1处的导数为.] (3)解　∵f(x)＝2x2＋4x， ∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3) ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx. ∴＝＝2Δx＋16. 当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16. [方法总结]　利用导数定义求导数的三步曲 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 简记为：一差，二比，三趋近． [训练1]　求函数f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数． 解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(3＋a＋b)＝3(Δx)2＋(6＋a)Δx， ＝＝3Δx＋6＋a， ＝ (3Δx＋6＋a)＝6＋a， ∴f′(1)＝6＋a. [训练2]　已知函数y＝x2＋＋5，若该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值． 解　当x＝a时，Δy＝(a＋Δx)2＋＋5－(a2＋＋5)＝2aΔx＋(Δx)2＋， ∴＝2a＋Δx－. ∴ ＝ ＝2a－. ∴2a－＝0，解得a＝. 若一物体运动方程(位移s的单位：m，时间t的单位：s)如下： s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解　(1)∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 位移变化量为Δs＝3×5