1.5 数学归纳法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

*§5　数学归纳法 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的核心素养． 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法． (1)(归纳奠基)证明：当n取第一个值n0(n0∈N＋)时，命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(×) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(×) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(√) 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[凸n边形边数最小是三角形，故第一步检验n＝3.] 3．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时应先证n＝________成立． 答案　2 4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当n>2时，有________． 答案　f(2n)> [知能解读]　数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键 数学归纳法的实质是递推，分析从n＝k到n＝k＋1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n＝k到n＝k＋1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋). 证明　当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2成立． 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4) ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上，可知等式对任何n∈N＋都成立． [方法总结]　用数学归纳法证明等式的方法 [训练1]　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ＝＋ ＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)和(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． [知能解读]　“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2). (1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：猜想Sn表达式并用数学归纳法证明． 第二步，精读题目挖已知条件：已知数列的递推公式及Sn与an的关系，an＝Sn－Sn－1(n≥2). 第三步，建立联系寻解题思路：(1)根据递推关系求出前4项，猜想Sn的表达式；(2)按照数学归纳法的解题步骤证明猜想． 第四步，书写过程养规范习惯． (1)解　S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－S1⇒S2＝－，S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 由此猜想Sn＝－(n∈N＋). (2)证明　①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－. ∵左边＝右边，∴等式成立． ②当n＝k(k∈N＋)时，假设Sk＝－成立， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk，得＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①和②，对一切n∈N＋，Sn＝－成立． [方法总结]　“归纳—猜想—证明”的一般环节 [训练2]　(2020·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＝