1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 解　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25， 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－)＝500， 需要完成的工作量为24×20＝480， ∵500>480，∴在24 h内能构筑成第二道防线． [方法总结]　与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，又或是求项数n. [训练]　(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块　　　　　　　 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 C　[设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，得9n2＝729，解得n＝9.故三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块).] [知能解读] 1．等差数列前n项和公式的函数特征 Sn＝na1＋d＝dn2＋(a1－d)n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求数列通项公式及前n项和的最小值问题． 第二步，精读题目挖已知条件：{an}是等差数列，且已知第10项及前5项和． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的增减性求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得 ∴an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n) ＝(n－)2－， ∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则 即解得3≤n≤4. 又n∈N＋，故当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. [变式1]　将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． 解　设等差数列{an}的公差为d，S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125， 故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1<0. 故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28.又n∈N＋，所以n＝27或n＝28，即S27和S28最大．又a1＝27，故S27＝S28＝378. [变式2]　在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 解　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二