1.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　等差数列的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握等差中项的概念及其应用． 2．掌握等差数列的项与序号的性质． 3．理解等差数列的项的对称性． 4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题． 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养． 2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的核心素养． 1．等差数列的图象 由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率． 2．从函数角度研究等差数列的图象与性质 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d＞0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示． 当d＜0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示． 当d＝0时，数列{an}为常数列，如图丙所示． 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)等差数列的图象要么是上升的、要么是下降的．(×) (2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.(√) (3)任何两个数都有等差中项．(√) 2．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为5d的等差数列 C．非等差数列 D．以上都不对 B　[由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d.] 3.＋1和 －1的等差中项为________． 　[ ＝.] 4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________. 3　[a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3.] [知能解读]　等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8； (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． 解　(1)方法一(通项公式法)　设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. 方法二(等差数列性质法)　根据等差数列的性质得 a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝. (2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)， ∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2. ∴a2＝5.又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16. 解得d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35， ∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105. [方法总结]　等差数列性质的应用 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质，若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． [训练1]　已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求d. 解　方法一　(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12. (2)化成a1和d的方程组如下： 解得或∴d＝3或d＝－3. 方法二　(1)由等差数列的性质知，a2＋a24＝a3＋a23， 又a2＋a3＋a23＋a24＝48， ∴a3＋a23＝24＝2a13.∴a13＝12. (2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34， ∴a2＋a5＝17.又a2a5＝52， ∴或 ∴d＝＝3或d＝＝－3. 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数