1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§2　等差数列 2．1　等差数列 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法． 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项． 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．文字语言：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋). 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)常数列是等差数列．(√) (2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．(×) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(×) 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　) A．4　　　　　　 B．3 C．－4 D．－3 B　[a3－a1＝8－2＝2d，故d＝3.] 4．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a　　　　　　 B． C． D． C　[由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d， 所以d＝.] [知能解读]　对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． [方法总结]　定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [训练1]　若数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，求证：数列是等差数列． 证明　由an＋1＝得＝＝2＋， 即－＝2，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列． [知能解读]　等差数列的通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． 在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)判断是否为等差数列中的项；(2)求等差数列的第10项． 第二步，精读题目挖已知条件：已知等差数列的两项． 第三步，建立联系寻解题思路：利用通项公式求出该数列的首项和公差，进而确定通项公式后再求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)设{an}的公差为d. 由解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则 解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n. 所以a10＝13－10＝3. [变式]　将本例(2)的条件变为“若a1＋a6＝12，a4＝7”，求a10. 解　设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a10＝2×10－1＝19. [方法总结]　处理等差数列基本问题的方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，那么可化成有关a1，d的关系列方程组求解，同时要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 [训练2]　(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是