上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

南模中学2023学年第一学期高二年级数学期中

2023.11

一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”）

2. 已知分别是平面的法向量，且，则__________.

3. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______.

4. 已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．

5. 如图，点在圆锥的底面圆上，是直径，，，圆锥的母线与底面成的角为，则点到平面的距离为_____．

6. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______．

7. 现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟．

 

8. 已知正方体的棱长为1，点､､分别为棱､､的中点，则下列结论中

（1）过､､三点作正方体的截面，所得截面面积为

（2）与平面所成的角为：

（3）异面直线与所成角的正切值为

（4）四面体的体积等于；

其中正确的结论________；

9. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________.

 

10. 如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的

中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则________.

 

11. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.

12. 空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．

二､选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ）

A.  B.

C.  D.

14. 有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（    ）

A.  B.  C.  D.