精品解析：上海市鲁迅中学2024届高三上学期期中数学试题

2023学年第一学期鲁迅中学高三数学期中考试试题 一､填空题（本大题共12小题，共54.0分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知集合，则_________． 2. 已知向量且，求实数__________. 3. 已知复数满足（是虚数单位，则__________. 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则___________. 5. 若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则__________． 6. 已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为______. 7. 若某圆锥高为3 ， 其侧面积与底面积之比为， 则该圆锥的体积为________. 8. 从甲､乙､丙､丁､戊等5名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人中只有1人被选到的概率为__________.（用数字作答） 9. 函数在区间上的最大值是__________. 10. 已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围_____________． 11. 若对于定义在上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则实数的取值范围为______. 12. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______. 二､单选题（本大题共4小题，共18.0分.其中13､14题每题4分，15､16题每题5分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则. 15. 设是定义域为R奇函数，且.若，则（ ） A B. C. D. 16. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ） ①若，则为“回旋数列”； ②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”； ③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则； ④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 三､解答题（本大题共5小题，共78.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 18. 已知向量.设. （1）求函数的单调增区间； （2）在中，角所对的边分别为.若，三角形的面积为，求边的长. 19. 已知数列中，. （1）求证：数列是等比数列；并求出数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，求满足的的最小值. 20. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （2）现有两个奖励函数模型：①；②；问这两个函数模型否符合公司要求，并说明理由？ 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期鲁迅中学高三数学期中考试试题 一､填空题（本大题共12小题，共54.0分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 2. 已知向量且，求实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为且， 所以，则. 故答案为：. 3. 已知复数满足（是虚数单位，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则___________. 【答案】 【解析】 分析】 利用三角函数定义求出、的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 因此，. 故答案为：. 5. 若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值． 【详解】展开式的通项公式为，由，