专题08 椭圆双曲线综合大题（9题型）-【寒假分层作业】2024年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 08 椭圆双曲线综合大题 · 一、巩固提升练 · 【题型一】韦达定理基础：五个方程 · 【题型二】直线双变量型 · 【题型三】韦达定理“变异”型 · 【题型四】直线过定点 · 【题型五】斜率“和与积”型定点 · 【题型六】韦达定理型求定值 · · 【题型七】 非韦达定理型点带入 · 【题型八】 面积最值型 · 【题型九】 轨迹型 二、能力培优练 热点 好题归纳 知识点与技巧： 一、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二、直线与椭圆的相交弦长的求解方法： 1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： （1）； （2）（）. 三、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 四、求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【题型一】 韦达定理基础：五个方程 1.（2022秋·广东深圳·高二校考阶段练习）已知双曲线经过点，一条渐近线方程为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 2.．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：. 3.（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）已知双曲线C与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 4.（2023秋·高二课时练习）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为. (1)求椭圆的离心率； (2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程. 【题型二】直线双变量型 1.（2022·广东东莞·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（异于点），且的面积为，过点A作直线，交椭圆于点，求证：. 2.（2023春·湖北·高二开学考）已知双曲线的焦距为，直线与交于两点，点是上异于两点的动点，且直线的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知是直线上的动点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交于点和点，若，求实数的值. 3.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 4.．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离. 【题型三】韦达定理“变异”型 1.椭圆：（）的离心率为，递增直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的斜率. 2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程． 3..已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 4.（2023秋·江苏苏州·高二校联考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积. 【题型四】直线过定点 1.已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且． (1)求的方程： (2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点． 2..已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.