课后提升练(25) 数乘向量 向量的线性运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(二十五)　数乘向量　向量的线性运算 [对应学生用书P181] 1．(2a－b)－(2a＋b)＝(　　) A．a－2b　　　 B．－2b　　　 C．0　　　 D．b－a B　解析：(2a－b)－(2a＋b)＝2a－b－2a－b＝－2b. 2．在△ABC中，D是线段BC的中点，且＋＝4，则(　　) A．＝2 B．＝4 C．＝2 D．＝4 A　解析：由已知得＋＝2，所以＝2. 3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B．－ C． D． A　解析：由题意知＝＋，　① ＝＋，　② 且＋2＝0. ①＋②×2得3＝＋2.∴＝＋， ∴λ＝. 4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ A　解析：＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是__________. 等腰梯形　解析：由已知得＝－，因此∥，且||≠||，所以四边形ABCD是梯形．又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形． 6．已知O、A、B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3·＋x·，则x＝________． －2　解析：∵点P在直线AB上，∴＝λ，λ∈R，－＝λ(－)即＝λ＋(1－λ)，所以∴x＝－2. 7．已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________． 3　解析：如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3. 8．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，点N在DB上，且＝t(t∈R且t>0). (1)当t＝2时，证明：M、N、C三点共线； (2)若M、N、C三点共线，求实数t的值． (1)证明：当t＝2时，＝2，有 ＝＝(－)＝(b－a)， 又＋＝， ∴＝－＝b－(b－a)＝b＋a； ＝－＝－2＝b－(b－a)＝b＋a， 则＝2，与有公共点N，于是M、N、C三点共线． (2)解：由＝t，得＝＝(b－a)， ＝＝(b－a)， ＝－＝b－(b－a)＝b＋a， ＝－＝b－(b－a)＝b＋a， 由M、N、C三点共线，可设＝λ(λ∈R，λ>0)， ∴b＋a＝b＋a， 得＝，且＝， 解得t＝2或t＝－1(舍去)， ∴t＝2. 9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形． 证明：∵＝＋＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2.∴与共线，且||＝2||. ∵这两个向量所在直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 10．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB延长线上 C．点P在线段AB反向延长线上 D．点P在直线AB外 C　解析：∵＝2－，∴－＝－， ∴＝，∴点P在线段AB反向延长线上． 11．(多选题)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(　　) A．a＝e1，b＝－2e2 B．a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C．a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 BC　解析：因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量． A．若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，所以a与b不共线； B．因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，所以a与b共线； C．因为b＝2e1－e2＝(3e1－e2)＝a，所以a与b共线； D．若a与b共线， 则存在实数λ∈R， 使a＝λb即e1＋e2＝λ(e1－3e2)， 所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 因为e1，e2是不共线向量， 所以所以λ不存在， 所以a与b不共线． 12．若向量a的模等于2，则－3a的模等于__________． 6　解析：|－3a|＝|－3||a|＝3×2＝6. 13．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________．(用，表示) (1－t)＋t　解析：∵＝t， ∴－＝t(－)， ＝＋t－t＝(1－t)＋t. 14．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设＝a，＝b. (1)用向量a与b表示向量，； (2)若＝，判断C、D、E是否共线，并说明理由． 解：(1)∵＝a，＝b，点A是BC的中点，∴＝－a. ∴＝＋＝－a－b， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b， (2)∵＝＋＝a＋b＋(－b)＝a＋b. 假设存在实数λ，使＝λ，则有a＋b＝λ(a＋b)，∴，此方程组无解， ∴不存在实