6.2.2 直线上向量的坐标及其运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 课程标准 学科素养 1.理解直线上向量的坐标的概念，会求直线上向量的坐标． 2．理解直线上向量的坐标运算，会求直线上向量的加、减、数乘的坐标运算． 3．会求数轴上两点之间的距离及中点坐标． 通过学习直线上向量的坐标及其运算，提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养． [对应学生用书P100] 1．给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的坐标． 2．在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 1．(教材改编)如图，向量的坐标为________. 3　解析：因为向量的始点在原点，因此终点A的坐标就是向量的坐标，故向量的坐标为3. 2．向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？ 解：能． (1)|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|. (2)当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反. 1．直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等． 2．设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋x2，如果μ，ν是两个实数，则μ a＋ν b的坐标为μx1＋νx2，μ a－ν b的坐标为μx1－νx2． 已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋b的坐标为(　　) A.1　　　　　　　 B．－1 C．0 D．4 B　解析：因为向量a，b的坐标分别为－2，2，所以向量a＋b的坐标为－2＋×2＝－1. 知识点3　数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，则AB＝||＝|x2－x1|， 设M(x)是线段AB的中点，则x＝． 1．已知数轴上点A，B的坐标分别为－1，－4，则||为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：＝－4－(－1)＝－3，||＝3. 2．已知数轴上两点A，B的坐标分别为－5，4，则A与B的距离为(　　) A．1 B．－1 C．9 D．－9 C　解析：AB＝|4－(－5)|＝9. [对应学生用书P101] (1)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　) A．|a|＝x　　　　　　　 B．b＝ye C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|＝1 A　解析：由题意知，|e|＝1，|a|＝|x|，b＝ye, a＋b＝xe＋ye＝(x＋y)e，所以a＋b的坐标为x＋y，只有A错误． (2)如图所示，写出直线上向量a，b的坐标． 解：如图，因为a＝－4e，b＝3e，所以向量a，b的坐标分别是－4，3. 求直线上向量的坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来． (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. [训练1]　若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，则向量a的坐标为(　　) A．1 B．e C．－1 D．－e C　解析：根据直线上向量坐标的定义知，向量a的坐标为－1. 已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标． (1)2a＋b；(2)5a－b. 解：(1)2a＋b的坐标为2×3＋(－4)＝2. (2)5a－b的坐标为5×3－×(－4)＝17. 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错． [训练2]　若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e是这条直线 上的向量，则|a＋2b|＝________． 　解析：由题意，向量a，b的坐标分别为，－， 所以a＋2b的坐标为＋2×(－)＝－， 故|a＋2b|＝. 探究三　 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 已知A，B是数轴上的点，B(－2)，且的坐标为4，求 (1)点A的坐标；(2)线段BA的中点C的坐标． 解：(1)由题意知，的坐标为－2，又＝－，且的坐标为4，所以的坐标为－6，即A(－6). (2)由(1)知，A(－6)，B(－2)，所以中点C的坐标为＝－4，即C(－4). [变式]　若把本例条件改为“已知A，B是数轴上的点，A(2)，B(－3)”，求A与B的距离及线段AB的中点坐标. 解：因为＝－，所以的坐标为－3－2＝－5，故AB＝||＝5，线段AB的中点坐标为＝－. 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式，并清楚它们之间的区别. [训练3]　设数轴上两点A，B的坐标分别为－1，4，求向量的坐标及A与B的距离． 解：由题意得的坐标为－1，的坐标为4，又因为＝－，所以的坐标为－1－4＝－5，而且BA＝||＝|－5|＝5. [对应学生用书P102] 1．如图