6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.1.4　数乘向量 6．1.5　向量的线性运算 课程标准 学科素养 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则． 2．理解平面向量数乘运算的几何意义． 3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 通过学习向量的数乘运算，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P92] 1．一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa.其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.上述实数λ与向量a相乘的运算称为数乘向量． 2．数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小． 3．结论：λ(μa)＝(λμ)a. 4．如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a(a≠0). 1．已知非零向量a、b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 C　解析：∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同． 2．(教材改编)(5a)＝________． a　解析：(5a)＝a. 如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． 1．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A、B、D　　　　　　 B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D A　解析：∵＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，即＝2，∴∥.又∵，有公共点B，∴A，B，D三点共线． 2．如图，已知＝3，＝3，试判断A，C，E三点是否共线． 解：∵＝＋＝3＋3＝3(＋)＝3， ∴与共线．且有一公共点A，所以A，C，E三点共线． 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法．对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a. 对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb. 1．已知e1，e2是不共线向量，＝3e1＋4e2，＝6e1－9e2，则＝(　　) A．－3e1＋13e2 B．9e1－5e2 C．3e1－13e2 D．13e1－3e2 C　解析：由向量的减法得＝－＝(6e1－9e2)－(3e1＋4e2)＝3e1－13e2. 2．已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线的交点为O，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．(a＋b) D．a＋b C　解析：如题图，＝＝(＋)＝(a＋b). 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左向右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项． 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a　　　 B．－4b　　　 C．c　　　 D．a－b A　解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a. 2．(教材改编)的结果是(　　) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b B　解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a [对应学生用书P94] 点C在线段AB上，且＝，则等于(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ D　解析：∵＝，∴＝－， ∴＝－. 若b＝λa，则向量a，b的方向决定了λ的正负；向量b与a的模的比值为|λ|，即|λ|＝. [训练1]　下列说法正确的是(　　) A．2a与a不能相等 B．|2a|＞|a| C．2a∥a D．|2a|≠1 C　解析：对A，当a＝0时，有2a＝a；对B，当|a|＝0时，有2|a|＝|a|；对C，正确；对D，当|a|＝时，有|2a|＝1.综上可知C正确． 已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．证明：∵＝＋＋ ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴∥. 又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线． 证明三点共线的方法 若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． [训练2]　设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　) A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0 B　解析：若