6.1.2 向量的加法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.1.2　向量的加法 课程标准 学科素养 1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算及运算法． 2．理解平面向量加法运算的几何意义． 3．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量． 通过学习向量的加法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P86] 1．平面上任意给定两个向量a，b，在该平面上任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，即＋＝，这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 2．对任意向量a，有a＋00＋a＝a. 3．三角形法则可以求任意两个向量的和向量，所以有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．思考辨析 (1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．(　　) (2)在△ABC中，必有||＋||＋＝0.(　　) (3)在＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点．(　　) (4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．(　　) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)× 2．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范围为____________． [3，13]　解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接计算可得． 　平面上任意给定两个不共线向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作一个平行四边形ABCD，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋，这种求两向量和的作图方法叫做向量加法的平行四边形法则． 1．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形　　 B．矩形　　 C．正方形　　 D．不确定 B　解析：∵|＋|＝||，|＋|＝|＋|＝||，∴||＝||，∴▱ABCD是矩形． 2．如图，已知a，b，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 解：如图，作＝a，＝b，则a＋b＝. 1．为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和． 2．向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 1．(教材改编)＋＋化简后等于(　　) A． B． C． D． C　解析：＋＋＝＋＋＝. 2．(＋)＋＋＋＝________． 0　解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0. [对应学生用书P87] (1)如图①所示，求作向量和a＋b； (2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c. 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． 图③ (2)方法①(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 图④ 方法②(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c ， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 图⑤ 应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题(2)作法1比作法2简单 [训练1]　如图，已知a、b，求作a＋b. 解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①所示． (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②所示． (1)化简下列各式： ①＋＋＋； ②(＋)＋＋. (2)如图，四边形ABDC为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD，CD＝2AB，E为CD的中点．试求： ①＋；②＋＋；③＋＋＋. 解：(1)①＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. ②(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (2)由已知得ACEB，ABDE均为平行四边形． ①＋＝； ②＋＋＝＋＝； ③＋＋＋＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＝＋＝0. 解决向量加法运算时应关注的两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. [训练2]　化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. 解：(1