5.3.5 随机事件的独立性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

5.3.5　随机事件的独立性 课程标准 学科素养 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率． 3．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率． 通过学习随机事件的独立性，提升数学抽象、数据分析、数学运算、数学建模的核心素养． [对应学生用书P74] 一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．如果事件A与B相互独立，则，与B，A与，与也相互独立． 1．若事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝，则P(AB)＝(　　) A．0　　　　　　　　 B． C． D． C　解析：因为事件A，B相互独立， 故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. 2．若A与B相互独立，则下面不相互独立的事件是(　　) A．A与 B．A与 C．与B D．与 A　解析：A与是对立事件，不是相互独立事件． [对应学生用书P74] 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 此时P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A与事件B不独立． (2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为，这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)＝成立．从而事件A与事件B相互独立． 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件 [训练1]　判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”； (3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”． 解：(1)二者不可能同时发生，所以事件M与N是互斥事件． (2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}， 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}， 事件AB＝{6}，P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)， 故事件A与事件B相互独立，A，B不是互斥事件． (3)事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故事件M与N是相互独立事件． 甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率？ 解：甲射中目标与乙射中目标是相互独立事件．记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件． (1)2人都射中的概率为：P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A·发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件·B发生).根据题意，事件A·与·B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P＝P(A·B)＋[P(A·)＋P(·B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (法2)：“2人至少有一个击中