课后提升练(17) 正态分布（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(十七)　正态分布 1．如果随机变量ξ～N(0，1)，标准正态分布表中相应x0的值为Φ(x0)，则(　　) A．P(ξ＝x0)＝Φ(x0) B．P(ξ＞x0)＝Φ(x0) C．P(|ξ|＜x0)＝Φ(x0) D．P(ξ＜x0)＝Φ(x0) D　解析：根据标准正态分布求概率的定义，所以P(ξ＜x0)＝Φ(x0)，故选D． 2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的大小关系为(　　) A．p1>p2 B．p1<p2 C．p1＝p2 D．不确定 C　解析：由正态曲线的对称性及题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称．故p1＝p2. 3．某厂生产的零件外直径X～N(8.0，0.022 5)(单位：mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为(　　) A．上、下午生产情况均为正常 B．上、下午生产情况均为异常 C．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C　解析：根据3σ原则，在[8－3×0.15，8＋3×0.15]，即[7.55，8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常． 4．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.8，则P(3<ξ<6)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 C　解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，∴μ＝3，对称轴是x＝3.∵P(ξ<6)＝0.8，∴P(ξ≥6)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<6)＝0.6，∴P(3<ξ<6)＝0.3.故选C． 5．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　) A．该地水稻的平均株高为100 cm B．该地水稻株高的方差为10 C．该地水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多 D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 AC　解析：因为正态密度函数为φ(x)＝·e，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选AC． 6．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)上的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 0.2　解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 7．已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b服从标准正态分布N(0，1)，则a＝________，b＝________． ±　±1　解析：∵ 随机变量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，∴a＝±，b＝±1. 8．黔东南州雷山西江千户苗寨是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000，10 000)的随机变量，则每天到西江千户苗寨的游客人数超过2 100的概率为________. 0.158 5　解析：由于服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率为0.683，随机变量ξ服从正态分布N(2 000，1002)，故每天到西江千户苗寨的游客人数超过2 100的概率为×(1－0.683)＝0.158 5. 9．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8，22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？ 解：由于X～N(8，22)，根据正态分布的性质可知， 正态分布在[8－3×2，8＋3×2]之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在[2，14]内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修． 10．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是f(x)＝e，x∈R.试求光通量在下列范围内的白炽灯的个数． (1)203～215； (2)191～227. 解：由于X的概率密度函数为f(x)＝e， 所以μ＝209，σ＝6， 所以μ－σ＝209－6＝203， μ＋σ＝209＋6＝215