课后提升练(16) 离散型随机变量的方差（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(十六)　离散型随机变量的方差 1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　) A．0和1 B．p和p2 C．p和1－p D．p和(1－p)p D　解析：由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，易知X服从两点分布，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(X)＝p(1－p). 2．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A． B． C． D． A　解析：∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， ∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝， ∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝. 3．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 ACD　解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B错误，C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD． 4．甲、乙两名射击运动员命中环数ξ，η的分布列如下表，则射击成绩比较稳定的运动员是(　　) 环数k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 B　解析：由题中分布列可得E(ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2，E(η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，则D(ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，D(η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，说明乙的成绩更稳定． 5．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为(　　) ξ 0 1 2 P y 0.4 x A．0.72 B．0.6 C．0.24 D．0.48 B　解析：由题意知y＝0.6－x.因为E(ξ)＝0.4＋2x，所以E(ξ2)＝0.4＋4x.故D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24.当x＝0.3时，D(ξ)max＝0.6. 6．已知某随机变量X的分布列如下表(p，q∈R)： X 1 －1 P p q 如果X的数学期望E(X)＝，那么X的方差D(X)＝________. 　解析：根据题意可得解得p＝，q＝.故X的方差D(X)＝(1－)2×＋(－1－)2×＝. 7．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的标准差为________，在5次投篮中(假设各次投篮相互之间没有影响)命中次数η的方差是________． 0.4　0.8　解析：依题意知，ξ 服从两点分布，η服从二项分布， 即η～B(5，0.8)，所以D(ξ)＝0.8×(1－0.8)＝0.16， 所以＝0.4，D(η)＝5×0.8×(1－0.8)＝0.8. 8．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝4，Y＝2X＋3，D(Y)＝3.2，则P(X＝2)＝______.(结果用数字表示) 　解析：∵D(Y)＝4D(X)＝3.2， ∴D(X)＝0.8. 又X～B(n，p)， ∴解得p＝0.8，n＝5. 故P(X＝2)＝C0.82(1－0.8)3＝. 9．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、期望及方差； (2)求Y的分布列、期望及方差． 解：(1)X的可能取值为0，1，2. 若X＝0，表示没有取出次品，其概率为 P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝(0－)2