课后提升练(7) 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(七)　二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 1．(1＋2x)5展开式中x2项的二项式系数为(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 D　解析：由二项式展开式知x2项为展开式中的第三项，其二项式系数为C＝10. 2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n C　解析：方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除选项A，B，D． 3．(多选)下列关于(a＋b)10的说法正确的是(　　) A．展开式中的各二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 AB　解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法D错误． 4．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 D　解析：由题意可得C＝C，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256. 5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 D　解析：512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得当a＝12时，512 018＋a能被13整除． 6．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________． 3　解析：由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3. 7．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1　1 第2行 1　2　1 第3行 1　3　3　1 第4行 1　4　6　4　1 第5行 1　5　10　10　5　1 …… …… 34　解析：由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34. 8．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为________． 165　解析：在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝165. 9．已知n∈N*，求证：32n－1能被31整除． 证明：32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋1－1 ＝31·(31n－1＋C·31n－2＋…＋C)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 10．已知(＋2x)n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0， ∴n＝7或n＝14， 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C()423＝；T5的系数为C()324＝70； 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数为C()727＝3 432. 11．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　) A．－35x4 B．35x3 C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4 C　解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C． 12．已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，对任意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，则b＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 D　解析：由已知得bxn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋…＋an(x－1)n，所以a1＝C·b＝nb＝9，a2＝C·b＝＝36.解得n－1＝8，n＝9.所以b＝1. 13．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 6x　解析：因为8<C＋C1n＋…＋