4.3.2 独立性检验（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．3.2　独立性检验 课程标准 核心素养目标 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义． 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 1．理解独立性检验的思想．(数学抽象、数学运算) 2．能利用χ2值与临界值的比较作出统计推断．(数据分析、数学运算、数学抽象) 1．2×2列联表 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表． (2)χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． [微练1]下面是2×2列联表． y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 则表中a＝________，b＝________． 52　54　解析： a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54. 2．独立性检验 任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验． [微练2]若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为两个变量之间有关系． 5%　解析：查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系． 知识点一　由χ2进行独立性检验 某校高三年级举行一次全年级的大型考试，在数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学也为优秀的人数如下表所示，则我们能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系？ 物理优秀 化学优秀 数学优秀 228 225 数学非优秀 143 156 注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人． 解：根据已知数据列出数学与物理成绩优秀与非优秀的2×2列联表如下： 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 228 b1 360 数学非优秀 143 d1 880 总计 371 b1＋d1 1 240 ∴b1＝360－228＝132，d1＝880－143＝737， b1＋d1＝132＋737＝869. 代入公式可得χ2≈270.114. 按照上述方法列出数学与化学成绩优秀与非优秀的2×2列联表如下： 化学优秀 化学非优秀 总计 数学优秀 225 b2 360 数学非优秀 156 d2 880 总计 381 b2＋d2 1 240 ∴b2＝360－225＝135，d2＝880－156＝724， b2＋d2＝135＋724＝859. 代入公式可得χ2≈240.611. 综上，由于χ2的值都大于10.828，因此说明能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系． 独立性检验的步骤 (1)根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k. (2)利用公式χ2＝计算随机变量χ2. (3)如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下： 患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计 80 460 540 根据以上数据，判断能否有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关？ 解：由公式得χ2＝≈9.638. ∵9.638>6.635，∴有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关，即生活不规律的人易患胃病． 知识点二　独立性检验的综合应用 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老