4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　离散型随机变量的方差 课程标准 核心素养目标 1．通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 1．理解离散型随机变量的方差、标准差．(数学抽象) 2．会求离散型随机变量的方差、标准差．(数学运算) 3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题．(数学建模) 1．离散型随机变量的方差 (1)方差：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi为离散型随机变量X的方差．它刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小).离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示． (2)标准差：一般地，称为离散型随机变量X的标准差，它刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). (3)离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)． 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散． [微练1]判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．　(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0.　(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．　(　　) 答案：(1)×(2)√(3)√ [微练2]已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为________． 　解析：X的标准差＝＝. [微练3]有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好． 乙　解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量较稳定． 2．几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差：D(X)＝p(1－p)； (2)二项分布的方差：D(X)＝np(1－p)． [微练4]设一随机试验的结果只有A和且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) D　解析：依题意ξ服从两点分布，则D(ξ)＝m(1－m). [微练5]某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为(　　) A．0.48 B．1.2 C．0.72 D．0.6 C　解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，∴D(X)＝3×0.4×0.6＝0.72. 知识点一　求离散型随机变量的方差、标准差 编号为1，2，3的3名学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ). 解：ξ的所有可能取值为0，1，3. ξ＝0表示3名学生全坐错，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示3名学生中只有1名学生坐对位置，则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示3名学生全坐对位置，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1； D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. 求离散型随机变量的方差的两个关注点 (1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算． 对于二项分布关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算． 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是. (1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差； (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差． 解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B(6，)， 所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××(1－)＝. (2)由已知η＝30ξ， 所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200. 知识点二　离散型随机变量方差的性质 已知随机变量η的分布列如下表： η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差和标准差． (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y). 解：(1)由题意，得E(η)＝0×