4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 课程标准 核心素养目标 1．通过具体实例，理解离散型随机变量的均值概念． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 3．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 1．理解离散型随机变量的均值．(数学抽象) 2．会根据离散型随机变量的分布列求其均值．(数学运算) 3．掌握离散型随机变量均值的性质．(数学抽象) 4．能利用离散型随机变量的均值解决一些简单问题．(数学建模) 1．离散型随机变量的均值 (1)概念：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)表示：E(X)或EX. (3)意义：刻画了X的平均取值． (4)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b． 均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位． [微练1]已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． B．2 C． D．3 A　解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝. [微练2]设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 35　解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 2．几种常见分布的均值 (1)两点分布的均值：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p． (2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np． (3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝. [微练3]若随机变量X服从二项分布B(4，)，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10，3，5)，则E(Y)＝________. 　　解析：E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝. [微练4]篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． 0.8　解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 知识点一　求离散型随机变量的均值 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样．购买一瓶，若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ). 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且A，B，C相互独立，那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝. P(A)＝P(A)P()P()＝××＝. 故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是. (2)ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝k)＝C()k()3－k，k＝0，1，2，3. P(ξ＝0)＝C×()0×()3＝， P(ξ＝1)＝C××()2＝， P(ξ＝2)＝C×()2×＝， P(ξ＝3)＝C×()3×()0＝. 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键． 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y. (1)求X的分布列； (2)求X和Y的均值． 解：(1)P(X＝k)＝C()k()3－k(k＝0，1，2，3). 则P(X＝0)＝C×()3＝， P(X＝1)＝C××()2＝， P(X＝2)＝C×()2×＝， P(X＝3)＝C×()3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由题意X～B(3，)，Y～B(3，)， 所以E(X)＝3×＝，E(Y)＝3×＝2. 知识点二　离散型随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 则E(X)＝__________． －　解析：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以E(X)＝(