4.2.3 第2课时 超几何分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　超几何分布 课程标准 核心素养目标 通过具体实例，了解超几何分布并能解决简单的实际问题． 1．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程．(数学抽象、数学运算) 2．能用超几何分布解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M). 特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 1．对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成． 2．二项分布与超几何分布的区别与联系 超几何分布与二项分布都是离散型分布，而超几何分布需要总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复试验)，当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布． [微练1]判断正误 (1)超几何分布的模型是不放回抽样．(　　) (2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点．(　　) (3)超几何分布中的参数是N，M，n.(　　) (4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ [微练2]设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　) A．5件产品中有3件次品的概率 B．5件产品中有2件次品的概率 C．5件产品中有2件正品的概率 D．5件产品中至少有2件次品的概率 B　解析：根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故表示5件产品中有2件次品的概率，故选B． 知识点一　超几何分布的判断 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，问X是否服从超几何分布？ 解：不服从超几何分布． 因为随机变量X是否服从超几何分布，关键是看随机变量X的分布列是否由P(X＝k)＝确定，对应的N，M，n是多少． 本题随机变量X的可能取值为3，4，5，6. 不妨探讨“X＝4”与“X＝5”两种情况： “X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”，其概率P(X＝4)＝； “X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”，其概率P(X＝5)＝. 显然仅从“X＝4”与“X＝5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X＝k)＝确定的，所以随机变量X不服从超几何分布． (1)判断所给问题是否属于超几何分布，关键是紧扣超几何分布的定义． (2)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤l，l是n和M中较小的一个). 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X B．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的已摸次数 答案：B 知识点二　超几何分布的分布列 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如下图所示： (1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？ (2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列． 解：(1)由直方图得， 轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6； 中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10. (2)由题意知X服从超几何分布，且N＝20，M＝10，n＝