4.1.2 乘法公式与全概率公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．1.2　乘法公式与全概率公式 课程标准 核心素养目标 1．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 2．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 3．了解贝叶斯公式． 1．掌握乘法公式及其推广．(数学抽象) 2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率．(数学建模、数学运算) 1．乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0. (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． [微练1]判断正误 (1)P(AB)＝P(BA).(　　) (2)P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ [微练2]已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A． B． C． D． C　解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C． [微练3]有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．则第一次和第二次都抽到次品的概率是__________． 　解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.P(AB)＝＝＝. 2．全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． ※3.贝叶斯公式 (1)贝叶斯公式：一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝＝. (2)贝叶斯公式的推广： 定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1>P(Ai)>0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝ [微练4]对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整良好的概率约是________． 0.97　解析：设事件A为“产品合格”，事件B为“机器调整良好”．P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05，所求的概率为P(B|A)＝＝≈0.97. 知识点一　乘法公式及应用 一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． 解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1，2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. [探究1]　(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． 解：用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝. 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. [探究2]　(变结论)在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率． 解：用Bi表示第i次取得白球，i＝1，2，则B1B2表示两次取到的均是白球． 由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝. ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝. 利用乘法公式求概率的步骤 (1)求事件B的概率； (2)求在事件B发生的条件下事件A发生的概率； (3)代入乘法公式求解． 一批灯泡共100只，其中10只是次品，90只是正品，不放回地抽取，每次取一只，求第三次才取到正品的概率． 解：设Ai＝{第i次取到正品}，i＝1，2，3. A＝{第三次才取到正品}，则A＝12A3. 故P(A)＝P(12A3)＝P(1)P(21)P(A3|12)＝××≈0.008 3. 知识点二　全概率公式的应用 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个