3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 课程标准 核心素养目标 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题． 1．掌握二项式系数的性质．(逻辑推理、数学运算) 2．会求二项展开式中系数或二项式系数最大的项．(数学运算) 3．掌握“赋值法”并会灵活运用．(数学运算) 1．二项式系数的性质 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的系数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 上述性质(2)可记为C＝C＋C. 3．二项式系数的增减性与最值 二项式系数C，C，C，…C，C，C， 是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． [微练1]已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 D　解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8. [微练2](x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C D　解析：(x－y)n的二项展开式第m项的通项公式为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C(－1)m－1. 知识点一　二项式系数性质的应用 考向一：求展开式系数的和 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)令x＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)由(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. [探究1]　本例条件不变，求a6. 解：由展开式得a6为x6的系数， 由通项Tk＋1＝C(－2x)k知， 当k＝6时，a6为C×(－2)6＝448. [探究2]　本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值． 解：方法一　(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二　∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. “赋值法”的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，求a1＋a2＋a3＋…＋a7的值． 解：∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 由展开式中x4的系数是－35，可得C(－m)3＝－35， ∴m＝1.∴令x＝0，得a0＝(－m)7＝－1. ∴(x－1)7＝－1＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7， 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1. 考向二：求展开式中系数或二项式系数的最大项 在(－)8的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tr＋1＝C·()8－r·(－)r＝(－1)r·C·2r·x. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5＝C·24·x＝1 120x－6. (2)设第r＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r＝5或r＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [探究1]　在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x＝－1 792x. [探究2]　在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． 解：由题意知n＝8， 通项为Tk＋1＝(－1)k·C·()8－k·x， 令8－k＝0，得k＝6， 故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·()2·C＝7.