3.1.3 第1课时 组合与组合数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3．1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 课程标准 核心素养目标 1．通过实例，理解组合的概念； 2．能利用计数原理推导组合数公式并能解决简单的实际问题． 1．理解组合与组合数概念．(数学抽象) 2．能用树状图等写出简单组合问题的所有组合．(逻辑推理、逻辑推理) 3．能利用组合数的性质进行简单的数学运算．(数学运算) 1．组合与组合数 (1)组合及组合数的概念 ①组合：一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． ②组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 注意：①所谓并成一组是指与顺序无关．②同符号A一样，在符号C中，总是要求n和m都是正整数，且m≤n，以后也不再声明． (2)组合数公式 C＝＝＝. 对组合概念的三点说明 (1)组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合． [微练1]判断正误 (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．(　　) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.(　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合题．(　　) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ [微练2]C＝________，C＝________． 15　18　解析：C＝＝15，C＝C＝18. [微练3]从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 6　解析：从四个数中任取两个数的取法为C＝6种． 2．组合数的性质 性质 性质1 C＝C 性质2 C＝C＋C 规定 C＝1 [微练4]从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 20　解析：由组合数公式知C＝＝20. [微练5]C＝________． 190　解析：C＝C＝＝190. [微练6]C＋C＝________． 161 700　解析：C＋C＝C＝＝161 700. 知识点一　组合的概念 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相乘得到一个积，这样的积共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 解：(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其积均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题． 判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； (3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话． 解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题． (2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题． 知识点二　简单的组合问题 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加