3.1.2 第2课时 排列的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　排列的综合应用 课程标准 核心素养目标 通过实例，理解排列的概念与排列数公式的应用． 1．进一步加深对排列概念的理解．(数学抽象) 2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．(逻辑推理、数学运算) 知识点一　无限制条件的排列问题 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60， 所以共有60种不同的送法． (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125， 所以共有125种不同的送法． 无限制条件的排列问题的求解策略 (1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． (2)对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解． (1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法． (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种． (1)720　(2)60　解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720. (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法． 知识点二　有限制条件的排列问题 考向一：排队问题 有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (6)排成前后两排，前排3人，后排4人． 解：(1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有A种，其余6人全排列，有A种． 由分步乘法计数原理得AA＝2 160种． (2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种． 则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种． (3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有A种排法，共有AA＝720种． (4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有AA＝144种． (5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列， 因此有A＝N×A，所以N＝＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A＝5 040种． 解决排队问题的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素． (3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑．(4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出来，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入． (5)顺序给定的元素的排列问题，只需考虑其余元素的排列即可． 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间，乙必在两端； (2)甲不在左端，乙不在右端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)男生不全相邻． 解：(1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有2×7×A＝70 560种． (2)按甲在不在右端分类讨论． 甲站右端有A种；甲不在右端有7×7×A种；共有A＋7×7×A＝A×(8＋49)＝287 280种． (3)(捆绑法)AAA＝5 760种． (4)(插空法)先排4名男生有A种排法，再将5名女生插空，有A种排法，故共有AA＝2 880种排法． (5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A－AA＝345 600种． 考向二：组数问题 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成