3.1.2 第1课时 排列与排列数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 课程标准 核心素养目标 1．通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式，并会运用． 1．理解排列、排列数定义，能正确区分排列和排列数．(数学抽象) 2．能用列举法，“树状图”表示一个排列问题的所有排列．(数学建模) 3．识记排列数公式并能进行相关计算或证明．(数学运算) 1．排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即每次取出所有对象的排列)称为全排列． 理解排列的定义应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”． (2)只有当对象完全相同，并且对象的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列． (3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质：有序． [微练1]下列问题是不是排列问题？说明你的理由． (1)从高二·18班10名男生中选出4名参加4×100米接力，有多少种安排方法？ (2)某质检中心从一个工厂送检的100件产品中随机抽出10件进行质量检验，有多少种抽取方法？ (3)某市政府抽调20名优秀干部下派到20个贫困村去做精准扶贫工作，每个村安排一名干部，有多少种安排方法？ 解：(1)是排列问题，因为接力要排第一棒，第二棒，第三棒，第四棒，与顺序有关． (2)不是排列问题，因为从100件产品中抽10件检验，与顺序没有关系． (3)是排列问题，因为与顺序有关． 2．排列数与排列数公式 (1)排列数：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数． 符号表示：A(m，n∈N*，m≤n). “排列”和“排列数”是两个不同的概念．排列是指“从n个不同对象中，任取m个对象，按照一定顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数． 3．排列数公式 (1)排列数公式 A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1). (1)这个公式只有在m，n∈N*，m≤n的情况下才成立(以后不再说明). (2)公式右边是m个数的连乘积，它的第一个因数是n，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为(n－m＋1). (2)排列数公式的阶乘表示 全排列数公式的阶乘表示：A＝n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1. 规定：1！＝1，0！＝1，A＝1. 排列数公式的阶乘表示：A＝. [微练2]计算2A＋3！的值为(　　) A．100 B．123 C．126 D．128 C　解析：原式＝2×5×4×3＋3×2×1＝126. [微练3]从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有送法(　　) A．5种 B．10种 C．20种 D．60种 C　解析：由排列数定义知，共有A＝5×4＝20种． [微练4]若A＝2A，则m的值为　(　　) A．5 B．3 C．6 D．7 A　解析：由A＝2A得m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m×(m－1)(m－2)，故(m－3)(m－4)＝2，即m2－7m＋10＝0，解得m＝5或m＝2(舍去). 知识点一　排列的有关概念 判断下列问题是不是排列问题． (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ 解：(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题． (5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列问题． 判断一个问题是否是排列问题的方法 判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)