3.1.1 基本计数原理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3．1　排列与组合 3．1.1　基本计数原理 课程标准 核心素养目标 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(数学抽象) 2．能根据实际问题特征，正确选择计数原理解决实际问题．(数学建模) 1．分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 对分类加法计数原理的说明 (1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干类． (2)特点：相互独立．各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中任何一种方法都可以单独完成这件事． (3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准； ②在确定的标准下进行分类； ③分类不能重复，不能遗漏． (4)目的：分类加法计数原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用此原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事． [微练1]某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选1门，则不同的选法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 答案：C [微练2]从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的方法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 答案：C 2．分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn种不同的方法． 对分步乘法计数原理的说明 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将完成这件事划分为几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． [微练3]已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案：D [微练4]某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有(　　) A．11种 B．30种 C．56种 D．65种 B　解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，根据分步乘法计数原理，故共有6×5＝30种不同的组队方法． 知识点一　分类加法计数原理 某校高三共有三个班，其各班人数如下表： 班级 男生数 女生数 总数 高三·1班 30 20 50 高三·2班 30 30 60 高三·3班 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N＝50＋60＋55＝165. (2)由题设知共有三类方案： 第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N＝30＋30＋20＝80. 分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． (1)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 C　解析：分三类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种． (2)如图所示，在A，B间有四个焊接点①②③④，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． 13　解析：按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则有①，④，共2种情况；若脱落2个，则有①④，②③，①②，①③，④②，④③，共6种情况；若脱落3个，则有①②③，①②④，②③④，①③④，共4种情况；若脱落4个，则只有①②③④这1种情况．综上，共有2