专题15 指数及指数运算（3知识点+3题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题15：指数及指数运算（3知识点+3题型）指数及指数运算 常考题型 指数幂的分类及运算 二次根式及分数及分数指数幂 n次方根，n次根式 题型一：根式的性质化简或求值 题型二：分数指数幂的化简 题型三：整体代换法求分数指数幂 知识点一：n次方根，n次根式 （1）．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二：二次根式及分数及分数指数幂 （1）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). （2）分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点三：指数幂的分类及运算 （1）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （2）有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 题型一：根式的性质化简或求值 解题思路：利用以下两个性质和原则化简和求值 （1）.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) （2）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1).④.＝a(n为大于1的奇数).⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 例1．化简：（    ） A．1 B． C． D． 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例3．若，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（多选题）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 变式训练 5．（多选题）下列各式正确的是（　　）. A． B． C． D． 6．的值为 ． 7．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 9．已知，则的最小值为 10．已知，，，且，则 . 11．已知，则 ． 题型二：分数指数幂的化简 解题思路： 1.指数幂运算的常用技巧 ①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. ②负指数幂化为正指数幂的倒数. ③底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤 ①将根式化成分数指数幂的形式. ②运用分数指数幂的运算性质求解. （3）有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 例1．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 例2．已知，则 ． 例3．已知实数且，，则 例4．已知，，化简 . 变式训练 5．化简：. 6．化简(). 7．化简： 8．已知，且，求的值． 9．计算   10．（    ） A． B． C． D． 11．化简 . 12．计算： 13．计算与化简： （1） ； （2） ． 14．计算：； 题型三：整体代换法求分数指数幂 解题思路：.利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 例1．（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，求的值． 例3．已知，，求的值． 变式训练 29．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 30．若，则 ； ． 31．计算化简： (1)； (2). 32．化简求值： (1)计算； (2)计算（式中字母均是正数） (3)已知，求的值. 一、单选题 1．已知，则x等于（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（　　） A． B． C． D．