19.5 角的平分线（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

19.5 角的平分线 1. 会作一个角的平分线,能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点. 2. 掌握角的平分线的性质和判定,会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题. 3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实. 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 即学即练 阅读并填空． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图所示，    ①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③画射线_________． 射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________． 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 即学即练1如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    即学即练2 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 知识点三 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 即学即练1如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上． 知识点四 三角形角平分线的性质 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 即学即练（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN． 题型一 利用角平分线的性质解决线段问题 例1 如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于 ．    举一反三1在中，点在边的延长线上，的平分线与的平分线交于点，与交于点．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，连接，延长至点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求证：； 举一反三2 （2023春·上海浦东新区校考期末）如图，是的角平分线，为上任意一点，于，于．    (1)垂线段、是否相等？请说明理由； (2)如图，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 题型二 利用角平分线的性质证明角之间的关系 例2 （2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 举一反三1如图，已知于点于点，且，则 ．    举一反三2 在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形中，平分，，求证：．”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成题目的证明    题型三 角平分线性质的实际应用 例3 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 举一反三1 （2023春·四川成都·八年级校考期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 举一反三2如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（  ）    A．三角形三个内角的角平分线