专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD， 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 例1．（2022·江苏·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是 例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 例3．（2022·内蒙古包头·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 例4．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___． 模型2、定边对双直角共圆模型 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。 例1．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 例2．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积； 例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆. 例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D． 例3．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立